我在学校帮你试过了，但是只有这些，没有原文，先学习学习吧，呵呵
doi:10.1016/0017-9310(81)90184-8
Copyright © 1981 Published by Elsevier Science Ltd.
Numerical solution of moving boundary problems by boundary immobilization and a control-volume-based finite-difference scheme
Resolution numerique des problemes a frontieres mobiles par immobilisation de la frontiere et un schema de differences finies avec volume de contrôleNumerische Lösung von problemen mit wandernder grenze durch festlegung der grenze mit hilfe eines für ein kontrollvolumen formulierten finiten differenzenverf ahrensKhcyицлэннoэ pэeэниэ khcyzaдakhcy ц двиkhcyzyщэйcя гpaницэй c пoмoщью кoнэkhcyнo-pakhcyzнocтнoй cхэмы кoнтpoльнoгo oбьэмa лля фикcиpoвaннoй гpaницы
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C. F. Hsu, E. M. Sparrow and S. V. Patankar
Department of Mechanical Engineering, University of Minnesota, Minneapolis, MN 55455, U.S.A.
Received 28 November 1980; revised 2 February 1981. Available online 4 March 2003.
Abstract
A methodology is set forth for the numerical solution of transient two-dimensional diffusion-type problems (e.g. Heat conduction) in which one of the boundaries of the solution domain moves with time. The moving boundary is immobilized by a coordinate transformation, but the transformed coordinates are, in general, not orthogonal. Furthermore, with respect to a given control volume in the new coordinate system, mass appears to pass through the control surface which bounds the volume, and this mass movement brings about a convection-like transport of energy. The energy equation for a moving, nonorthogonal control volume is derived in general and then specialized to the transformed coordinate system associated with the immobilization of the moving boundary. A fully implicit scheme is used to discretize the control volume energy equation. The spatial derivatives are discretized by either of two schemes depending on the size of the pseudo-convection relative to the diffusion. The energy balance at the moving boundary of the solution domain is also transformed and discretized. A numerical procedure is then developed for solving the discretized energy equations. The use of the control volume formulation and the solution methodology will be illustrated for a specific physical situation in a companion paper that follows this paper in the journal.
Résumé
On établit une méthode de résolution des problémes de diffusion variable bidimensionnelle (conduction thermique) dans lesquels une des frontiéres du domaine se déplace en fonction du temps. La frontiére mobile est rendue fixe par un changement de coordonnées, mais celles-ci ne sont pas orthogonales en général. Par rapportàun volume de contrôle dans le nouveau systéme de coordonnées, la masse semble passeràtravers la surface de contrôle qui limite le volume etàce mouvement de masse est lié un transport d'énergie. L'équation d'énergie pour un volume de contrôle mobile et non orthogonal est obtenue et adaptée au systéme de coordonnées transformées associéàl'immobilisation de la frontiére. Un schéma entiérement explicite est utilisé pour discrétiser l'équation d'énergie. Les dérivées spatiales sont discrétisées par l'un des deux schémas suivant la taille de la pseudo-convection relativeàla diffusion. Le bilan d'énergieàla frontiére mobile est aussi transformé et discrétisé. Une procédure numérique est ensuite développée pour résoudre les équations d'énergie discrétisées. L'utilisation de cette méthode est illustrée dans un article qui suit ce texte dans le même journal.
Zusammenfassung
Eine Methode zur numerischen Lösung von instationären zweidimensionalen Diffusionsproblemen (z.B. Wärmeleitung) wird entwickelt, bei denen eine der Grenzen des Lösungsgebiets mit der Zeit fortschreitet. Die wandernde Grenze wird durch eine Koordinatentransformation festgehalten, wobei aber die transformierten Koordinaten im allgemeinen nicht rechtwinklig sind. Ferner strömt in bezug auf ein gegebenes Kontrollvolumen in dem neuen Koordinatensystem Masse durch die das Volumen begrenzende Kontrollfläche, und dieser Massenstrom hat einen konvektionsartigen Energiestrom zur Folge. Die Energiegleichung für ein bewegtes nichtorthogonales Kontrollvolumen wird allgemein hergeleitet und dann für das transformierte System in Verbindung mit dem Festhalten der wandernden Grenze speziell entwickelt. Mit einem vollständig impliziten Verfahren wird die Energiegleichung für das Kontrollvolumen diskretisiert. Die räumlichen Ableitungen werden mit einem von zwei Verfahren, die von der Gröβe des Verhältnisses der Pseudo-Konvektion zur Diffusion abhängen, diskretisiert. Die Energiebilanz an der wandernden Grenze des Lösungsgebiets wird ebenfalls transformiert und diskretisiert. Ein numerisches Verfahren wurde dann zur Lösung dieser diskretisierten Energiegleichungen entwickelt. Die Anwendung des Kontrollvolumenansatzes und der Lösungsmethode wird für einen bestimmten physikalischen Fall in einem Begleitartikel dargestellt werden, der dem vorliegenden Ausfatz in dieser Zeitschrift folgen wird.
Abstract
Пpeдлokhcyzeнa мeтoдикa khcyиcлeннoгo peшeния khcyzaдakhcy диффykhcyzиoннoгo типa (иaпpимep. тeплoпpoвoдиocти), в кoтopых нoлokhcyzeииe oдиoй иkhcyz гpaниц packhcyeтиoй oблacти иkhcyzмeияeтcя вo вpeмeни. Двиkhcyzeниe гpaиицы фнкcнpyeтcя пpeoбpakhcyzoвaниeм кoopдинaт, пpиkhcyeм нoвыe кoopдинaты. кaк пpaвилo, нe opтoгoнaльны. Пpи пoлykhcyeнии кoнтpoльиoгo oбьeмa в нoвoй cиcтeмe кoopдинaт вokhcyzникaeт мaccooбмeн khcyepekhcyz кoнтpoльнyю пoвepхиocть, oгpaниkhcyивaющyю paccмaтpивaeмый oбтщeм, кoтopый пpивoдит к кoнвeктивнoмy пepeнocy эиepгии. Уpaвнeниe эиepгии для двиkhcyzy-щeгocя иeopтoгoиaльнoгo кoнтpoльнoгo oбщeмa вывoдитcя oбыkhcyным oбpakhcyzoм, a khcyzaтeм khcyzaпиcы-вaeтcя в cиcтeмe кoopдинaт, cвяkhcyzaинoй c фикcaциeй двиkhcyzyщeйcя гpaницы. Пpи aпнpoкcимaнии ypaвнeння эиepгни для кoнтpoльнoгo oбeмa иcпoльkhcyzyeтcя пoлнocтью нeявнaя cхeмa. Пpocтpaн-cтвeиныe пpoнkhcyzвoдныe aппpoкcимиpyютcя oдиoй иkhcyz двyх cхeм в khcyzaвиcимocти oт cooтнoщeиия мekhcyzдy диффykhcyzиoннoй и кoнвeктивнoй cocтaвляющими. Taким khcyze oбpakhcyzoм нpeoбpakhcyzyeтcя и aппpoкcимиpyeтcя ypaвнeниe бaлaнca для двиkhcyzyщeйcя гpaницы. Пpивoлитcя khcyиcлeнный aлгoдитм peшeния pakhcyzнocтных ypaвиeний энepгии. Meтoдикa иcпoльkhcyzoвaния кoитpoльпoгo oбьeмa и khcyиcлeииoгo aлгopитмa иллюcтpиpyeтcя нa пpимepe peщeиия khcyacтнoй фиkhcyzиkhcyecкoй khcyzaдakhcyи. oпyбликoвaниoй в этoм khcyze иoмepe khcyzypнaлa.
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