[问题讨论]折线的长度有多长？ [复制链接]

数学上经常用正多边形的周长去计算圆的周长，计算思路是采用无穷逼近的方法。若用折线去无限逼近正方形的对角线，折线的长度会趋于对角线的长度吗？若正方形的边长为a，请问折线的长度是多少？

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高数中，讲的是以直代曲，因为曲线不能直观去算，而直线本身就已是最基础的，不能以曲代直，这没意义，反而导致结果增大不准确，并且主要原因是代的部分与被代替部分只差必须为高阶无穷小。

无穷和有限确实很奇妙！比如两条线段，不一样长，那么请问这两条线上的点哪个多？我问过很多人，都说无法比较，因为线上的点都是无限的！但是长线段总是会比短的多出一段，不是么？

鄙人的观点是趋近的原则是不同的，多边形趋近圆是直接相等，而对角线则是符合勾股定理！简单的举个例子X的平方和X的三次方，当X无限趋近于0时，请问他们是否相等？我不知道这个例子是否恰当，但是我知道很多事情不是表面上看着那么简单的……

是微分的思路。用折线逼近圆时，可近似认为：圆弧的微元段与对应的折线段相等。但用折线逼近对角线时，却不能近似认为对角线的微元段与对应的折线段相等，因为不管微元段有多小，都是一个直角三角形，没有近似的可能。
应该这么想吗？

园可以这样逼近，但对角线是不行的！
园与折线的每个线段都是相切的，而后者不是！进一步的观点得翻翻书，逼近是有条件的

或者如4楼所说,,,涉及其他学科..,,,,比如,折线不能用红线近似,,,用黑线近似好些...(不懂什么理论,只是凭感觉说的)

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如果以极限的角度看的话,,,折线长度就是直线长度...

好像第二种并没有从近似推向极限而得准确值，这种取法一直都是准确值，只是形状上相似，但性质不一样。

看了老师这个题，我觉得折线无限次向对角线对折，就有无穷多个处于折线端点的点和对角线重合，所以根号下2a肯定是错的，应该是2a